La Akademio de Sciencoj de Francio atribuis la Premion Ampère, sponsoritan de la elektrokompanio Électricité de France, al la konata esperantisto Jesper Jacobsen kaj lia longdaŭra kunlaboranto Hubert Saleur. Ekde 2002 ili kune verkis proksimume 65 sciencajn artikolojn kaj kune gvidis 12 doktoriĝantojn. En ampleksa artikolo verkita por Libera Folio Jesper Jacobsen rakontas pri la scienca laboro kiu kondukis al la premio.
Jesper Jacobsen kun Alain Fischer, prezidanto de Akademio de Sciencoj, dum la premia ceremonio. Foto: Mathieu Baumer.La Akademio motivis sian decidon per kelklinia priskribo de niaj respektivaj ĝeneralaj esplorkampoj. Ĝi ne deklaris apartan laboron kialo por la premio. Ricevinte la peton de Libera Folio per (relative) simplaj vortoj klarigi, kial mi ricevis tiun premion, mi do priskribas parton de mia scienca aktivado, pri kiu ni ofte kunlaboris dum la pasintaj dudek jaroj, pensante ke ĝi almenaŭ parte respondas al la starigita demando. Espereble la leganto tamen permesos al mi uzi pli ol nur kelkajn liniojn por provi doni almenaŭ ideon, pri kio entute temas.
La unua parto de la prezento klarigas la ĝeneralan kadron per kiom eble simpla ekzemplo. Tiu parto estas iom reviziita versio de sekcio el mia prelego pri fraktaloj, kiu aperis en la IKU-libro de 2021. La dua parto, kiu prezentas kelkajn aspektojn de mia pasinta kaj nuna esplorlaboro, estas nova kaj verkita por la okazo.
Por fari tason da kafo
La gutado de likvo tra pora substanco estas konata kiel perkolo. La celo de tiu procedo kutime estas, ke la likvo ekstraktu specifan elementon el la substanco, kiun ĝi trapasas, kaj tiusence temas do pri transporta fenomeno. Tre konata ekzemplo de perkolo estas la preparado de kafo, en kiu akvo tragutas substancon de muelitaj kafograjnoj por ekstrakti ties aromajn elementojn. La akvo plej facile tragutas la lokojn, kie la kafograjnoj jam estas humidaj. Tio donas motivon formuli la sekvan idealigitan matematikan modelon por perkolo, kies origino estas laboro de la brita matematikisto John Hammersley el la jaro 1957.
Tegu la dudimensian ebenon per regulaj seslateroj (simile al la kaheloj ofte uzataj en banĉambroj kaj kuirejoj). Sendepende por ĉiu seslatero, deklaru ĝin kondukanta (trairebla) kun probablo p aŭ izolanta (baranta) kun probablo 1-p. Alternative farbu viajn banĉambrajn kahelojn ruĝaj aŭ bluaj, sendepende, kun respektivaj probabloj p kaj 1-p. La intereso de tiu modelo aperas en la lima okazo de tre granda (eventuala nefinia) banĉambro, aŭ ekvivalente ĉe la uzo de tre malgrandaj (eventuale infinitezimaj) kaheloj: ni nomas tion la kontinuolimo.
La unua demando stariginda estas, ĉu tiu sistemo “perkolas”. Alivorte, ĉu ekzistas pado de unu vando de la banĉambro al la kontraŭa, laŭlonge de kiu oni promenas sur nur la ruĝaj (kondukantaj) seslateroj? Aŭ pli precize, kun kiu probablo ekzistas tia pado? Klare tio estas tre malverŝajna, se p malgrandas, kaj tre verŝajna, se p proksimas al 1. Iom surprize, eble, ĉe la kontinuolimo la respondo al tiu demando estas duuma: ekzistas tia sojla probablo pc (kun 0 < pc < 1), ke por ajna p < pc kun certeco (t.e. probablo unu) ne ekzistas tia pado, dum por p > pc kun certeco ekzistas almenaŭ unu tia pado. Precize je p = pc okazas tiel nomata faztransiro inter la fazo de neniu perkolo (p < pc) kaj la fazo de tutcerta perkolo (p > pc).
Hubert Saleur kun Alain Fischer dum la premia ceremonio. Foto: Mathieu Baumer.Tiu priskribo unuavide povus pensigi pri la faztransiro, en kiu akvo pasas de solida fazo (glacio) al likva fazo, sed tiu analogio estus misgvida. Ĉar tiu faztransiro en akvo havas nenulan latentan varmon: necesas alkonduki nenulan energion, dum la sistemo staras je konstanta temperaturo Tc de nul celsiaj gradoj, por elfari la ŝanĝon de fazo (kaj tiel ebligi postan plikreskigon de la temperaturo). La perkola faztransiro havas neniun latentan varmon kaj tial pli similas al tio, kio okazas en magnetizita ferpeco je la t.n. kuria temperaturo (1 043 kelvinaj gradoj), kiam la efiko de la termika agitado igas la feron perdi sian magnetismon kaj tiel transiri de feromagneta al paramagneta fazo. Ni nomas tiajn faztransirojn duaordaj. Ili estas aparte interesaj, ĉar ili rilatas al fraktaloj, kiel mi poste ilustros per la ekzemplo de perkolo.
La valoro de la sojla probablo pc dependas de la formo de kaheloj uzataj en la tegado. Eblas pruvi, ke per seslateraj kaheloj ni havas simple pc = 1/2. Se oni uzas anstataŭe kvadratajn kahelojn, la sojlo estas konata tre precize (per metodo de grafeaj polinomoj, kiun mi inventis en 2015), sed ne ekzakte: pc = 0.59274605079210(2), kie la nombro inter krampoj indikas la statistikan eraron sur la lasta cifero. Cetere, la rezulto pc = 1/2 por seslateroj estas la bazo de la populara ludo “Hex”, en kiu du ludantoj provas konkurence konstrui al si padon inter malsamaj kontraŭe starantaj muroj sur kvadrata ludbreto.
La figuro montras momenton dum tiu ludo. Ludas alterne la “blua” kaj “ruĝa” ludantoj, metante po unu kahelon de sia koloro. La blua ludanto celas konstrui al si bluan padon inter la maldekstra kaj la dekstra flankoj de la tabulo, dum la ruĝa ludanto celas konstrui al si ruĝan padon inter la malsupra kaj la supra flankoj de la tabulo. Ioma rezonado montras, ke se ambaŭ ludantoj ludas tute hazarde (aŭ ludas strategie kun la sama inteligento), ambaŭ havas la saman probablon gajni la ludon. La grizaj seslateroj estas la lokoj ankoraŭ netuŝitaj de la ludantoj, do lokoj pri kiuj ili ankoraŭ ne decidis, ĉu ilin kovru ruĝa aŭ blua kahelo.
Eblas fari multajn interesajn observaĵojn, se oni atente rigardas la figuron. Unue oni povas konstati, ke la blua ludanto gajnis la ludon: ekzistas blua pado inter la maldekstra kaj dekstra flankoj. Ĝuste pro tio ne povas ekzisti ruĝa pado inter la malsupra kaj supra flankoj, ĉar la blua pado baras kaj malebligas tian padon: la ruĝa ludanto malgajnis. Oni ankaŭ povas vidi, ke ekzistas kelkaj neesploritaj (grizaj) regionoj, kiujn plene ĉirkaŭas tavolo da ruĝaj kaheloj.
Se la blua ludanto ankoraŭ ne gajnis la ludon (imagu formeti unu bluan kahelon en taŭga loko por reveni al antaŭa momento de la ludo), estus strategie vane por li meti bluajn kahelojn en tia regiono. Tio signifas, ke por la ludo “Hex” — kaj por la transportaj ecoj de perkolo kiel fizika modelo — ne gravas la malgrandaj “insuloj” (aŭ koneksaj aroj, se iom matematike paroli) el same koloritaj kaheloj, sed nur la grandaj.
Laŭ matematika vidpunkto, la ĉefa intereso de perkolo estas ĝia rilato al fraktaloj. Montriĝas, ke je la perkola sojlo pluraj geometriaj objektoj, kiuj estas videblaj en la figuro, estas fraktaloj (en la kontinuolimo, kompreneble). La bildo estas farita por ilustri unu el ili, kiun ni nomu “interfaco” inter ruĝo kaj bluo.
Por trovi tiun objekton, metu vian fingron (aŭ vian rigardon) en iun ajn lokon, kie ruĝa kahelo tuŝas bluan. Antaŭeniru de kahelo al kahelo (movu vian fingron), tiel ke via vojo ĉiam tuŝas ruĝon ĉe sia maldekstro kaj bluon ĉe sia dekstro. La vojo, kiun vi tiel sekvas estas la serĉata interfaco. Ne haltu, se vi alvenis al flanko de la bildo. Se via vojo trafas la maldekstran flankon de la bildo, saltu al la samalta punkto ĉe la dekstra flanko kaj daŭrigu — aŭ inverse resaltu de la dekstra flanko al la maldekstra, aŭ simile saltu inter la supra kaj malsupra flankoj je la sama horizontala pozicio.
Farante tion kun pacienco kaj eltenemo vi malkovros post certa tempo, ke la interfaco iam revenas al la punkto, de kie vi komencis vian promenadon: ĝi faris “buklon” (fermitan cirkviton). La nombro de laŭiritaj kahelojuntoj en tiu tuta promenado estas la longeco de la buklo. Vi eble rimarkis, ke mi iom ruze faris la bildon tiel, ke ĝi montras nur unu buklon. Se oni daŭrigus la ludon (malgraŭ la jama venko de la blua ludanto), elektante la koloron ankaŭ de ĉiuj mankantaj grizaj seslateroj, la rezulto estus pliaj bukloj, sed malpli longaj. Kiel dirite, ĉefe gravas la grandaj geometriaj objektoj, do ni enfokusigu tiun plej longan buklon, kiun montras la bildo.
Tiu buklo havas tre interesan geometrian formon. Vi certe rimarkis, ke ĝi multe turniĝas. Pli fakece, ĝi estas statistike memsimila: parto de ĝi similas al la tuto. La leganto povas mem konstati tiun similecon (en la komunuza senco), rigardante la bildon. Sed la strikta senco de “statistike memsimila” estas, ke se oni averaĝas ĉiujn eblajn realigojn de la buklo, uzante la probablomezuron difinitan per p kaj irante al la kontinuolimo, parto de la buklo estas identa al la tuto, en la senco de probablomezuro, kondiĉe ke oni pligrandigas la parton por prezenti ĝin sur la sama skalo kiel la tuto.
Perkolo estas tre riĉa modelo, kiu provizas nin per pluraj malsamaj fraktalaj objektoj. Unu el ili estas la ĵus difinita buklo. Ĝia fraktala dimensio estas 7/4. Tiu aserto signifas, ke se ĉiu latero de la ludtabulo estus N-oble pli longa (kaj do la areo N2-oble pli granda), la buklo estus N7/4-oble pli longa. La fakto, ke 7/4 estas pli granda ol 1, signifas, ke la buklo des pli serpentumas, ju pli oni pligrandigas la sistemon.
Se oni rigardas anstataŭe la tutan koneksan aron da ruĝo, kiun la buklo havas ĉe sia maldekstra flanko (t.e. la tutan insulon da ruĝo, de kiu la ĵus laŭirita buklo estas la strando, inkluzive de ties interna “landareo”, sed malinkluzive de eblaj internaj bluaj “lagoj”) oni trovas pli altan dimension, nome 91/48. (Simetrie oni povus diri la saman pri blua insulo sen eventualaj ruĝaj internaj lagoj.) Tiu nombro signifas, ke la areo de la insulo fariĝus N91/48-oble pli granda (kalkulita laŭ ties nombro de ruĝaj kaheloj), se la ludtabulo estus N2-oble pli granda laŭ areo. La fakto, ke 91/48 estas malpli granda ol 2 (eĉ se nur iomete), signifas, ke la koneksa aro kovras nul procentojn de la tuta ludtabulo en la kontinuolimo — eventuale iom surpriza konkludo.
Ankoraŭ alia objekto estas la ekstera perimetro, kiun oni trovas sekvante la randon de la koneksa aro (ni diru en ruĝa koloro) kiel antaŭe, sed permesante al si laŭplaĉe transsalti de temp’ al tempo unu bluan kahelon por malplilongigi la vojon. Se oni metafore konsideras la bluon kiel akvon kaj la ruĝon kiel teron, la ekstera perimetro estas do ekskurso laŭlonge de la akvorando, en kiu la promenanto supersaltas eventualajn fjordojn tie, kie ilia elfluejo dikas nur unu seslateron.
La fraktala dimensio de la ekstera perimetro estas 4/3: la forigo de la fjordoj vere ŝanĝas la geometrian naturon de la marbordo. Unu fina ekzemplo: foje seslatero de la koneksa aro havas la proprecon, ke se oni formetas ĝin, la tuta aro malkoneksiĝas. En nia marista metaforo temas pri istmo. La aro de tiaj istmaj seslateroj havas la fraktalan dimension 3/4. La fakto, ke tiu nombro estas malpli granda ol 1 (eĉ se nur iom), signifas, ke la distanco inter istmoj fariĝas pli granda, kiam ni pligrandigas la sistemon.
Mi jam menciis, ke se oni kahelas per kvadratoj anstataŭ seslateroj, la valoro de pc ŝanĝiĝas. Sed la fraktalaj dimensioj supre menciita (t.e. 7/4, 91/48, 4/3 kaj 3/4) tute ne ŝanĝiĝas, se oni tiel ŝanĝas la modelon. Oni povas laŭplaĉe tegi la ebenon per trianguloj aŭ per ia ajn regula aranĝo de poliedroj — la fraktalaj dimensioj restas ĉiam senŝanĝaj, kondiĉe ke pc estas alĝustigita tiel, ke la modelo staras je sia faztransiro. Tiu aserto, kiu verdire povas ŝajni apenaŭ kredebla, nomiĝas universaleco. La universaleco montras, ke eĉ se oni rajtas elekti tre specifan (kaj matematike konvenan) modelon por perkolo, la rezultoj tamen estas tute ĝeneralaj.
De kie originas ĉiuj tiuj rezultoj?
La menciitaj fraktalaj dimensioj estis unue trovitaj de teoriaj fizikistoj (Nienhuis, Duplantier, Saleur k.a.) en la 1980-aj jaroj. Ili uzis por tio metodojn de kvantuma kampteorio, kaj pli precize konforma kvantuma kampteorio. Tiuj metodoj permesas atingi la ĝustajn rezultojn, sed ili ne estas tute rigoraj en la matematika senco. La esenca problemo estas difini la kontinuolimon en maniero akceptebla por matematikistoj.
Tiu obstaklo leviĝis per nova metodo en probabloteorio, nomita Schramm-Loewner-evoluo, al kies studo kontribuis interalie Lawler, Schramm, Werner kaj Smirnov en la unua jardeko de la nuna jarcento (la du lastaj ambaŭ ricevis Fields-medalon por tiuj laboroj). La rezulto estis pli profunda kompreno de fraktaloj en statistikaj modeloj, kaj tute aparte la ĵus menciitaj rezultoj pri perkolo nun estas pruvitaj teoremoj, en la rigora matematika senco.
Buklomodeloj
Konfiguro de perkolo estas difinita, se oni donas ĉiujn el la interfacoj inter ruĝo kaj bluo, kies difinon ni donis supre. Ni ankaŭ priskribis kiel ĉiu interfaco formas buklon, kondiĉe ke oni konsideras sistemon kun t.n. periodaj randkondiĉoj (t.e. oni identigas la maldekstran kaj dekstran flankojn de la sistemo, kaj same la malsupran kaj supran flankojn). Efektive, se oni konas la poziciojn de ĉiuj bukloj, oni konas ĉiujn lokojn de kolorŝanĝoj. Se oni arbitre farbus unu “referencan” kahelon blua, la koloro de ĉiuj kaheloj determiniĝus pro la kono de la bukloj — kaj ĉar ruĝo kaj bluo ludas simetriajn rolojn, la elekto de bluo kiel referenca koloro ne gravas. Statistika modelo, kiu estas difinita per bukloj, nomiĝas buklomodelo.
Mia esplorlaboro koncernas i.a. tiajn buklomodelojn.
Buklomodeloj estas pli ĝeneralaj ol nur perkolo. Ekzemple, anstataŭ elekti la koloron de ĉiu kahelo sendepende, oni povas doni statistikan preferon al situacio, en kiu du najbaraj kaheloj havas la saman koloron. Se tiu prefero estas zorge alĝustigita, la fraktaloj ŝanĝas sian naturon kaj la fraktalaj dimensioj alprenos aliajn valorojn ol por perkolo. La koncerna modelo nomiĝas la Ising-modelo. Same, oni povas biasi la statistikan ensemblon per la nombro de bukloj, kio denove ŝanĝas la dimensiojn. En ĉiuj tiuj situacioj oni povas starigi demandojn kiel la sekvajn:
1) Por du donitaj punktoj, ĉiu en la centro de kahelo, kiom valoras la probablo, ke oni povas paŝi de unu punkto al la alia sen transiri iun ajn buklon; aŭ
2) Por du donitaj punktoj, ĉiu ĉe la junto inter du kaheloj, kiom valoras la probablo, ke tiuj du punktoj troviĝas sur unu sama buklo?
En ambaŭ okazoj, tiu probablo malkreskas laŭ la distanco r inter la du punktoj proporcie al 1/rx. Ĝenerala kaj ne tiom malfacila rezulto estas, ke x = 2-d, kie d estas unu el la fraktalaj dimensioj antaŭe renkontitaj. Jam pli malfacile estas eltrovi, kiu x rilatas al kiu d, ĉar ni jam vidis plurajn. Por perkolo, x = 5/48 estas la respondo al la unua demando (memoru, ke d = 91/48 estas unu el la renkontitaj dimensioj), dum x = 1/4 estas la respondo al la dua demando (ankaŭ d = 7/4 aperis supre).
En statistika fiziko aŭ probabloteorio estas kutime starigi demandojn pri korelaciaj funkcioj. En la kunteksto de la modeloj, kiujn ni difinis ĉi-supre, oni povas formuli tipan tian demandon jene: kiel varias la probablo, laŭ la distanco inter la kaheloj, ke du malsamaj kaheloj havas la saman koloron? Estas demando pri korelacio (“sama koloro”), kiu varias laŭ iu parametro (la distanco), sekve temas pri funkcio (do korelacia funkcio). Por perkolo la ĵus starigita demando estas triviala, ĉar la koloroj estas elektitaj sendepende.
Tiu korelacia funkcio do valoras 1/2 sendepende de la (nenula) distanco (sed eblas starigi aliajn, pli interesajn demandojn pri perkolo, kiel ni poste vidos). Sed por la Ising-modelo la demando pri korelacio de koloroj estas netriviala. Ĝi estis respondita en 1952 de la ĉi-jare forpasinta ĉina Nobel-premiito C.N. Yang, laŭ liaj propraj diroj post plurjara arda klopodo. La rezulto estas, ke la kolora korelacio malkreskas, por granda distanco r, proporcie al 1/r1/8 (denove potencleĝo…). Tamen la scienco antaŭeniras kaj pro progreso de la 1960-aj jaroj tiu demando pri la Ising-modelo estas nun konsiderata relative facila afero, ekzerco solvebla en kelkaj horoj de kurso por doktoriĝantoj.
La du numeritaj demandoj starigitaj ĉi-supre estas pli malfacile respondeblaj kaj, kiel jam menciite fine de la antaŭa ĉapitro, oni trovis la koncernajn respondojn nur komence de la 1980-aj jaroj. La teoriaj fizikistoj trovis tiujn respondojn per metodoj de kvantuma kampoteorio. En tiu procedo, la du markitaj punktoj kondutas kiel paro da kontraŭe ŝargitaj partikloj, interagantaj sub influo de elektromagnetaj fortoj sur fono de plasmo de aliaj moveblaj ŝargoj. Tiu kalkulskemo estas konata sub la nomo de Coulomb-gaso. La moviĝo de la ŝargitaj partikloj modeligas la statistikajn fluktuojn de la bukloj, en la kontinuolimo.
La procedo de Coulomb-gaso tamen havas limojn. Ĝi ne sukcesas respondi la sekvajn demandojn, kiuj tamen ŝajnas tre similaj al la unuaj du:
3) Por tri donitaj punktoj, ĉiu en la centro de kahelo, kiom valoras la probablo, ke oni povas paŝi de unu punkto al la du aliaj sen transiri iun ajn buklon; aŭ
4) Por tri donitaj punktoj, ĉiu ĉe la junto inter du kaheloj, kiom valoras la probablo, ke ĉiuj tri punktoj troviĝas sur la sama buklo?
Kun mia kunlaŭreato Hubert Saleur kaj Yacine Ikhlef (kies doktoriĝon ni iam kungvidis) ni sukcesis respondi la 3-an demandon en 2016. Estas interese, ke la solvometodo ĉi-foje postulas ideojn de kvantuma gravito (imaginara Liouville-teorio). La kialo, ke la metodo de Coulomb-gaso ne sufiĉas, originas el tio, ke ne eblas fiksi la ŝargojn de tri partikloj tiel, ke ĉiu paro inter ili kondutas kiel en la 1-a demando.
Fine, kun Sylvain Ribault, ties doktoriĝinto Rongvoram Nivesvivat kaj nia komuna doktoriĝanto Paul Roux ni fine sukcesis respondi la 4-an demandon en 2025. Denove montriĝas, ke la demando defias la metodojn uzitajn por respondi la antaŭajn demandojn, ĉar ĉi-foje estas bezonataj ideoj de konforma kampteorio (kaj pli precize la t.n. conformal bootstrap, angla termino ŝajne netradukita — kaj eble tradukebla en neniun alian lingvon).
Tiu kadro transpaŝas la kapablojn de la kvantuma gravito de Liouville.
Nia nuna esplorprojekto celas montri, ĉu kaj kiel tiuj novaj metodoj povas formi koheran tuton, ebligante respondi demandojn similajn al la ĉi-supraj, sed por ajna nombro da punktoj. Mi ne estus surprizita, se plia jardeko estus ankoraŭ bezonata por antaŭeniri laŭ tiu vojo. Sed tio estas konata obstaklo: la plej grava afero en esplorlaboro estas pacienci kaj apliki multajn malsamajn ideojn, ĝis fine falos la obstinaj baroj.
Jesper Jacobsen
DEMANDO
La centro de Melburno. Foto: Diliff CC BY 3.0
UEA kun ĝojo anoncas la lanĉon de la strategia programo UEA-BReto por fortigo de la kunlaboro de UEA kun Esperanto-bibliotekoj tutmonde. Tio sekvas la jam sukcesajn kunlaborojn de UEA en Eŭropo, kun la Aŭstra Nacia Biblioteko en Vieno (kie estas la Internacia Arkivo de UEA) kaj la Pola Nacia Biblioteko en Varsovio (kie estas la Biblioteko Hector Hodler – BHH).
Je la 1a de decembro 2025 al la 111a Universala Kongreso de Esperanto, kiu okazos de la 1a ĝis la 8a de aŭgusto 2026 en la urbo Graco (Aŭstrio) aliĝis 514 personoj el 49 landoj.
“Tre speciala, tre ordinara, simple tre speciala homo forpasis”, komunikis la familio de Rob Moerbeek, al kiu post riĉa kaj plena vivo ni devas adiaŭi. Robert Moerbeek (naskiĝinta en Haarlem la 1-an de majo 1936) forpasis en Beverwijk la 27-an de novembro 2025. La Esperanto-movado estas profunde dankema al li pro tuta vivo dediĉita al Esperanto kaj Paco.
La komitato de UEA kunsidis rete dum pli ol tri horoj.
Rob Moerbeek (1936–2025). Foto: UEA Viva.
Homaj lingvaj rajtoj: ĉiutaga neceso
«Diru al mi, kion vi manĝas, kaj mi diros al vi, kiu vi estas. Kuirarto parolas pri ni, pri niaj emocioj, niaj plezuroj kaj niaj revoj. En siaj Analektoj, Konfuceo rimarkigas nin pri tio, ke “oni neniam satiĝas je bongusta kaj delikata manĝaĵo.” Kelkajn jarcentojn poste, la filozofo Gaston Bachelard asertis, ke “manĝado estas (…) festeno por la sensoj”. Kuirarto estas invito al vera ĉirkaŭmonda rondvojaĝo, do ĉetabliĝu! La vespermanĝo estas preta», – skribis Agnès Bardon, la ĉefredaktoro de “Unesko-Kuriero”, en la ĉefartikolo de la dua ĉi-jara kajero de ĉi tiu gazeto (aprilo-junio).
DeepL tradukas el la ukraina al Esperanto. La traduko estas bonkvalita, sed la nomo de la ukraina ministro estas skribita kun angleca ortografio – en Esperanto ja ne ekzistas la litero y.
La ĝenerala evoluo de maŝina tradukado estas vertiĝodona por ĉiuj, laŭ István Ertl.
